SLAM中的基础数学2:李群与李代数

本节我们主要说说李群和李代数。笔者的专业是机械工程及其自动化,方向还是冶金机械,所以,对李群李代数的理解就停留在“这个东西是这个样子啊”的水平。但是我还是要说一说,从我的经验来讲,对跟我一样的工程类的学生应该是一点启发的。当然我最想说明的是,不要畏惧新的未学过的知识,你越是害怕它,就越是不懂它在说什么。只要按照书上的或者前人的思路一步一步走,不懂的地方反复琢磨,最后都能知道它在讲什么有什么用。好了,废话不要说得太多了,现在开始。

首先,在我们这里的李群和李代数是一种工程工具,解决我们对旋转矩阵的优化困难的问题,(因为旋转矩阵是正交矩阵,引入了额外的约束条件,使得优化问题复杂)。

李群

我们之前所说,所有的旋转矩阵R构成一个SO(3)李群,所有的变换矩阵T构成一个SE(3)李群。每个李群都有对应的李代数。我们就是需要建立李群到李代数的桥梁,使得在李群下难以优化的问题能方便的在李代数下求导优化。

李代数的引出

考虑一个随时间连续变化旋转矩阵R(t),因其是正交矩阵,我们有:$$R(t)R(t)^T=I$$旋转矩阵对时间求导,我们有,$$\dot{R}(t)R(t)^T+R(t)\dot{R}(t)^T=0$$整理得,$$\dot{R}(t)R(t)^T=-(\dot{R}(t)R(t)^T)^T$$这里,显然\(dot{R}(t)R(t)^T\)是一个反对称矩阵了。上讲我们说了一个向量可以写成反对称矩阵的形式,同样的,一个反对称矩阵就可以由一个向量来表示,即

\begin{equation}\dot{R}(t)R(t)^T=\phi(t) ^\wedge \end{equation}

等式两边同乘R(t),我们有

$$\dot{R}(t)=\phi(t) ^\wedge R(t)$$

这个式子告诉我们旋转矩阵函数对时间求导,只需要在矩阵前面乘以一个\(\phi(t)\)即可。如果们假定\(R(0)=I\),解上面的微分方程,我们有

\begin{equation}R(t)=exp({\phi}_0^{\wedge} t)\end{equation}

因为做了假设,这个方程很仅仅在t=0处有效。这里的那个“向量”\(\phi\)就是我们的李代数了。

李代数的定义

so(3)

李代数的定义,网上还是很多的,我这里就不介绍了。我们只需要知道,李代数是一类变量和一个二元运算符–李括号组成的集合,满足封闭性、双线性、自反性、雅克比等价等性质。比如,向量和外积构成一个李代数。

SO(3)对应的李代数是\(R^3\)上的向量,我们记作\(\phi\),我们有

ϕ∧)
R=exp(ϕ∧)

$$\Phi=\phi ^{\wedge}$$

在此定义下,两个向量的李括号定义为

\begin{equation}[{\phi}_1,{\phi}_2]=( \mathbf{{\Phi}_1} \mathbf{{\Phi}_2}-\mathbf{{\Phi}_2} \mathbf{{\Phi}_1}  )^{\vee} \end{equation}

依据我们前文的推导,我们建立SO(3)李群和李代数的关系,有

\begin{equation}\mathbf{R}=exp(\phi^{\wedge})\end{equation}

se(3)

与so(3)相类似,se(3)的是\(R^6\)上的向量。

\begin{equation} se(3)= \left\{\begin{aligned} \mathbf{\varsigma}=\begin{bmatrix} \mathbf{\rho} \\ \mathbf{\phi} \end{bmatrix} \in R^6, \mathbf{\rho} \in R^3, \mathbf{\phi} \in so(3), \varsigma^{\wedge} = \begin{bmatrix}\phi^{\wedge} & \mathbf{\rho} \\ \mathbf{0}^T & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \right\} \end{equation}

其中\(\varsigma\)的前三维为平移,记作\(\mathbf{\rho}\),后三维为旋转记作\(\mathbf{\phi}\),需要特别说明的是\(^{\wedge}\)不是吧向量变为反对称矩阵,我们这里拓宽了它的含义,表示拓展成“合适”的矩阵。李括号的定义为:

\begin{equation} [{\varsigma}_1, {\varsigma}_2]=({{\varsigma}_1}^{\wedge}{{\varsigma}_2}^{\wedge}-{{\varsigma}_2}^{\wedge}{{\varsigma}_1}^{\wedge}) ^{\vee}\end{equation}

指数与对数映射

so(3)上的指数映射

待后续补充…

李代数求导与扰动模型

待后续补充…

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