利息中的自然对数e

要说e,我们不得不提“自然”的意思,这里的 自然 并不指自然界的自然,它的意思应该理解成"本身如此,无需人为的干涉".就像自然数、\(PI\)等,他们本来就是那样的,无需依赖人类的定义。

自然对数e的本质就是增长的极限。

假设我们往银行存1元钱,银行的年息是100%,如果每年产生一次,那我们可以轻易的知道一年到头你的利息(单位元)是:

\begin{equation} 1\times(1+100\%)=2\end{equation}

但是如果我们换成一个月产生一次利息,然后你又把每个月的利息重新存入本金,那你一年到头的利息是:

\begin{equation} 1\times(1+\frac{100\%}{12})^{12} \approx 2.613\end{equation}

进一步,我们换成一个天产生一次利息,然后你每天的利息重新存入本金,那你一年到头的利息是:

\begin{equation} 1\times(1+\frac{100\%}{365})^{365} \approx 2.71457\end{equation}

已经很接近e了。当我们无限细分计时间隔的时候,我们就有了:

\begin{equation} 1\times \lim_{n \to +\infty}(1+\frac{100\%}{n})^{n} = e \end{equation}

也即是说,我们按照无限细分的“利滚利”产生的最大增长倍数就是e。这是一件很自然的增长方式。

但是考虑到银行的利息不可能那么高,我们知道余额宝是按日计息的,我们近似的取余额宝的年化利率4%(实际上笔者写这篇文章的时候,余额宝的利息为4.1720%),我们来计算一年到头的收益:

\begin{equation} 1\times (1+\frac{4\%}{365})^{365} = (1+\frac{100\%}{365 \times 25})^{365 \times 25 \times \frac{1}{25}} \\ = e^{\frac{1}{25}} \approx 1.04081 \end{equation}

算下来,比按年计息多了0.00081元钱,很微不足道,这是因为的利息本就很低,每天产生的利息太微小,不足以产生明显的指数效应。但是,如果利率很高,按日息就会把按年计息甩出一个光年的距离。

最后,我多说两句,比特币从最出的09年1月份推出时的价格2美分到17年底的2万美元,增值了100万倍。假设你在比特币推出的时候存了0.02美元,100%的年化利息,按利滚利,到17底的时候,你的收益应该是

\begin{equation} 0.02\times e^{9} \approx 162\end{equation}

两者一比,就可以看吹比特币这九年有多么的疯狂!!!

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