图像傅里叶变换的解释

傅里叶变换是个很神奇的东西,它打破了人类对于自然的原有理解方式,给人们提供了一种新的描述自然的方式方法.本文基于读者对单函数的傅里叶变换已经有了一定的认识和理解.如果还不太明白的,可以参考这里.

ok.首先声明,本文按作者自己的思路整理,不一定在数学上严格.仅仅是为了理解方便.

我们知道,一元函数经过傅里叶变换后,我们可以得到它的幅频和相频函数.对于二元函数,我们可以同样的得到这些.

首先,

为了简单起见,我们假设相位为0,对于f(x,y)=Asin(wx)我们有上面的图像,正弦的函数沿x方向变化,同样的,我们对于f(x,y)=Asin(wy)也有与上图相同的形状,只是与上图方向垂直.

对于沿任意给定\(\theta\)的方向的正弦函数,我们有

\begin{equation}f(x,y)=Asin(xw \cdot sin\theta+yw\cdot cos\theta ) \end{equation}

任何一个空域的二元函数(比如一张图片)都可以由这些不同方向不同频率不同相位和幅值的函数叠加出来.这里\(w sin\theta 和 wcos\theta \)是上述基础二元函数的频率(圆频率),如果分别令其等于u和v的话,然后我们u和v作为二元自变量,A作为函数值作图,我们就能得到幅值-频率图了,只是这里的频率是一个二元变量(w指示震动的快慢,\(\theta\)指示震动的方向,也就是一种极坐标形式).图像应该是就类似于这个样子,(原点中心应该是在图片中央):

我们知道\(u^2+v^2=w^2\),w是空域二元函数的频率,所以在上图中,越远离原点中心的点,其w越大,也就代表着原来空域二元函数的越高频部分.所以对于图像的高通滤波,我们只需要消去外围的一些频率点就可以了.

至于变换空域傅里叶变换及其反变换的公式,网上到处都有,这里就不赘述了.

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